Tham luận về phương pháp giải toán:
SỬ DỤNG BIỂU DIỄN THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG ĐỂ XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Trong các bài toán tìm tọa độ của điểm, bài toán xét sự tương giao của đường và mặt, bài toán cực trị hình học,v.v…có một số trường hợp, nếu biểu diễn phương trình của các đường liên quan đến bài toán dưới dạng tham số thì ta có thể tìm được cách giải dễ hơn.
A. Cơ sở lý thuyết:
a/ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy :
1/ Đường thẳng qua điểm
và nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương ( hay có phương trình chính tắc
) sẽ có phương trình tham số là

2/ Ta có
Đường tròn (C):


3/ Ta có
.
b/ Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua điểm
và nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương ( hay có phương trình chính tắc
) sẽ có phương trình tham số là
.
B. Một số ví dụ minh họa:
1.Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(4; 3) trên đường thẳng d có phương trình
.
Giải: Đường thẳng d có phương trình tham số
và có véc tơ chỉ phương là
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d , ta có H(5-2t ; t ) thỏa điểu kiện AH
d,
.
Do đó
. Suy ra hình chiếu của A trên d là H(3; 1).
2.Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 3) và các đường phân giác trong, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương trình
.Tìm tọa độ đỉnh C.
Giải: Giải hệ phương trình
ta có B(9;-2)
Gọi D và M lần lượt là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B
và trung điểm của cạnh AC. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên
đường phân giác BD là H(3; 1) (Xem Ví dụ 1) . Suy ra điểm đối xứng của đỉnh A qua đường thẳng BD là A’ thuộc đường thẳng BC.
Ta có
hay A’(2;-1). Và vì
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng BC nên BC có phương trình tham số
.
Giả sử C(2-7t ;-1+t ) ta có trung điểm M
của cạnh AC có tọa độ nghiệm đúng phương trình
. Do đó ta có
. Suy ra ta có C(-12;1).

3.Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d và đường tròn (C) lần lượt có phương trình
và
. Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) lần lượt tại A, B và tam giác MAB là tam giác đều.
Giải: Đường thẳng d có phương trình tham số
Gọi M(t ;-1+t ) là điểm cần tìm.
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính
. Vì tam giác MAB là tam giác đều nên tam giác MAI vuông tại A có
. Suy ra IM = 2IA

Suy ra M(-3;-4) hay M(3; 2).

4.Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;2), đường thẳng
:
và đường tròn (C) :
. Tìm điểm M thuộc
sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) lần lượt tại B, C và khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là lớn nhất.
Giải: Đường tròn (C) có tâm I(3; 2) và bán kính
. Đường thẳng
có phương trình tham số là
. Gọi M(t ; 3+t ) là điểm cần tìm, ta có

Suy ra với mọi t, qua M ta đều kẻ được hai tiếp tuyến với (C), và các tiếp điểm B, C là các giao điểm của (C) và đường tròn (C’) có đường kính IM.
Đường tròn (C’) có tâm J
và bán kính IJ
nên có phương trình là
. Từ phương trình của (C) và của (C’) suy ra phương trình của đường thẳng BC là
.
Khoảng cách từ A(3; 2) đến đường thẳng BC là:


lớn nhất
. Suy ra ta có M(1; 4).
5.Ví dụ 5:(D-2009) Cho đường tròn (C):
có tâm I. Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho
.

Giải: Giả sử
ta có
. (C) có bán kính IM = 1